Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=3，BC=4，AB=5，AA₁=4，点D是AB的中点.

（1）求证：∥平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值.

Answer 1

（1）证明见解析;（2）.

试题分析：（1）设BC₁与CB₁交于点O，连接OD，利用三角形中位线性质，证明OD∥AC₁，利用线面平行的判定，可得AC₁∥平面CDB₁;（2）过C作CE⊥AB于E，连接C₁E，证明∠CEC₁为二面角C₁-AB-C的平面角，从而可求二面角C₁-AB-C的余弦值．
试题解析：（1）证明：设BC₁与CB₁交于点O，则O为BC₁的中点,
在△ABC₁中，连接OD，
∵D，O分别为AB，BC₁的中点，
∴OD为△ABC₁的中位线，
∴OD∥AC₁，
又∵AC₁Ú平面CDB₁，OD?平面CDB₁，
∴AC₁∥平面CDB₁;
（2）解：过C作CE⊥AB于E，连接C₁E,
∵CC₁⊥底面ABC，
∴C₁E⊥AB,
∴∠CEC₁为二面角C₁-AB-C的平面角,
在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，
∴CE=,
在Rt△CC₁E中，tan∠C₁EC=4:=,
∴cos∠C₁EC=,
∴二面角C1-AB-C的余弦值为．