Question

如图，在直三棱柱ABC—A₁B₁C₁中， ，直线B₁C与平面ABC成45°角。

(1)求证：平面A₁B₁C⊥平面B₁BCC₁；
(2)求二面角A—B₁C—B的余弦值.

Answer 1

（1）参考解析；（2）

试题分析：(1)要证明平面⊥平面，从图形中确定证明垂直于平面.从而要在平面中找到两条相交直线与垂直.显然.通过计算可得直线.所以可得直线与平面垂直.
（2）要求二面角A—B₁C—B的余弦值，要找的这二面角的平面角.通过计算可得是等边三角形，并且是等腰直角三角形.所以只要取的中点O.即可得角AOB为所求的二面角的平面角.应用余弦定理即可求得.
试题解析：(1)证：∵BB₁⊥面ABC
∴B₁C与面ABC所成的角为∠B₁CB
∴∠B₁CB=45⁰
∵BB₁=1
∴BC=1
又∵BA=1,AC=
∴AB²+BC²=AC²
∴AB⊥BC
∵BB₁⊥AB
BB₁∩BC=B
∴AB⊥面B₁BCC₁
∵A₁B₁//AB
∴A₁B₁⊥面B₁BCC_1.∵A₁B₁面A₁B₁C
∴面A₁B₁C⊥面B₁BCC₁
（2）因为直角三角形中，.所以.所以为等边三角形.又因为为等腰三角形.所以取得中点O，连结AO,BO，则所以为二面角A--B的平面角.因为直角三角形中. .在等边三角形中. .所以在三角形中.