Question

已知函数 f（x）=

3

sin2x-2sin²x-1
（Ⅰ）求函数f（x）的单调减区间；
（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且c=

7

，f（C）=-l，若3sinA=sinB，求该三角形的面积S．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦定理,余弦定理

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得：f（x）=2sin（2x+

π

6

）-2，由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z即可求得单调递减区间．
（2）由（1）整理可得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，结合C的范围，即可求得C，由3sinA=sinB，得3a=b，又由余弦定理即可解得a，b的值，从而由三角形面积公式即可得解．

解答： 解：（1）据题意 f（x）=

3

sin2x+cos2x-2=2sin（2x+

π

6

）-2，
由2kπ+

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，得kπ+

π

6

≤x≤kπ+

2π

3

，k∈Z，
故，单调递减区间为：[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈Z．…（5分）
（2）由（1）可知f（C）=2sin（2C+

π

6

）-2=-1，整理可得sin（2C+

π

6

）=

1

2

，
由C∈（0，π），可知2C+

π

6

∈（

π

6

，

13π

6

），进而可得C=

π

3

…（8分）
由3sinA=sinB，得3a=b，又由余弦定理可知：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

a2+9a2-7

6a2

=

1

2

，
解得a=1，b=3，故S_△ABC=

1

2

absinC=

3 3

4

…（12分）

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式的应用，属于基本知识的考查．