Question

已知2S_n=a_n+

1

an

，则S₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据题目给出的递推式，构造方程组，两式作差后两边平方运算，得到数列{b_n}为等差数列，写出等差数列的通项公式，把b_n代入后可求a_n，然后即可求出S₂₀₁₄．

解答： 解：∵2S_n=a_n+

1

an

，①
∴2S_n+1=a_n+1+

1

an+1

 ②
②-①得：2S_n+1-2S_n=a_n+1+

1

an+1

-（a_n+

1

an

），
即2a_n+1=a_n+1+

1

an+1

-（a_n+

1

an

），
∴a_n+

1

an

=

1

an+1

-a_n+1，
两边平方得a_n²+

1

an2

+2=（

1

an+1

）²+a_n+1²-2，
即[a_n+1²+（

1

an+1

）²]-（a_n²+

1

an2

）=4
设b_n=a_n²+

1

an2

，
则b_n+1-b_n=4，
而b₁=a12+

1

a12

=1+1=2，
∴数列{b_n}是首项为2，公差为4的等差数列，b_n=2+4（n-1）=4n-2．
则a_n²+

1

an2

=4n-2，
即a_n²+2+

1

an2

=4n，
则（a_n+

1

an

）²=4n，
又a_n＞0＞0，
故a_n+

1

an

=2

n

，
从而a_n²+2

n

a_n+1=0，解得a_n=

n

±

n-1

，
而a₁=1，由2（a₁+a₂）=a₂+

1

a2

，
即a_2²+2a₂-1=0，解得a₂=-1±

2

，
取a₂=

2

-1＞0，则只有a_n=

n

-

n-1

符合．
∵2S_n=a_n+

1

an

，
∴S_n=

1

2

（a_n+

1

an

），
则S₂₀₁₄=

1

2

（

2014

-

2013

+

1

2014 - 2013

）=

1

2

（

2014

-

2013

+

2014 + 2013

( 2014 )2-( 2013 )2

）=

1

2

（

2014

-

2013

+

2014

+

2013

）=

2014

，
故答案为：

2014

．

点评：本题考查了数列的概念及简单表示法，考查了利用递推式求数列的通项公式，利用构造法，结合等差数列的通项公式是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．