Question

在锐角三角形ABC中，

cosA

cosC

=

3 a

2b- 3 c

（1）求A的大小；
（2）求cosB+sinC的取值范围．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,余弦定理

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，由sinB不为0求出sinA的值，即可确定出A的度数；
（2）由A的度数求出B+C的度数，表示出C，代入原式中利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，由这个角的范围，利用正弦函数的值域求出所求式子的范围即可．

解答： 解：（1）已知等式利用正弦定理化简得：

cosA

cosC

=

3 sinA

2sinB- 3 sinC

，
整理得：2sinBcosA-

3

sinCcosA=

3

sinAcosC，即2sinBcosA=

3

sin（A+C）=

3

sinB，
∵△ABC为锐角三角形，sinB≠0，
∴cosA=

3

2

，
则A=

π

6

；
（2）∵A=

π

6

，∴B+C=

5π

6

，即C=

5π

6

-B，
∴cosB+sinC=cosB+sin（

5π

6

-B）=cosB+

1

2

cosB+

3

2

sinB=

3

2

cosB+

3

2

sinB=

3

（

3

2

cosB+

1

2

sinB）=

3

sin（B+

π

6

），
∵0＜B＜

5π

6

，
∴

π

6

＜B+

π

6

＜π，即0＜

3

sin（B+

π

6

）≤

3

，
则cosB+sinC的取值范围为（0，

3

]．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．