Question

已知函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+cos（2x-

π

6

）．
（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先利用函数关系式的恒等变换求出函数的正弦形式，进一步利用整体思想求出函数的最小正周期和函数的单调区间．
（Ⅱ）利用上步求出的函数关系式进一步利用函数的定义域求出函数的值域，进一步求出函数的最值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=2sin（2x+

π

3

）+cos（2x-

π

6

）
=2(sin2x•

1

2

+cos2x•

3

2

)+

3

2

cos2x+

1

2

sin2x
=

3

2

(sin2x+

3

cos2x)
=3sin（2x+

π

3

），
所以函数的最小正周期为：T=

2π

2

=π．
令：-

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：-

5π

12

+kπ≤x≤kπ+

π

12

，
所以函数的单调增区间为：[-

5π

12

+kπ，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：函数的解析式为：f（x）=3sin（2x+

π

3

），
由于：-

π

4

≤x≤

π

4

，
所以：-

π

6

≤2x+

π

3

≤

5π

6

，
则：-

1

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
解得：-

3

2

≤f(x)≤3．
所以函数f（x）的值域为：[-

3

2

，3]，
则f（x）_max=3，f(x)min=-

3

2

．

点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期公式的应用，利用整体思想求正弦型函数的单调区间，和函数的最值．