Question

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）上的点M到直线l：y=x+1的最小距离为

2

4

．点N在直线l上，过点N作直线与抛物线相切，切点分别为A、B．
（Ⅰ）求抛物线方程；
（Ⅱ）当原点O到直线AB的距离最大时，求三角形OAB的面积．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设y=x+b与抛物线y²=2px（p＞0）相切，且与l：y=x+1的最小距离为

2

4

，求出b，再将直线方程与抛物线方程联立，利用△=0，即可求抛物线方程；
（Ⅱ）当原点O到直线AB的距离最大时，求出直线AB的方程，即可求三角形OAB的面积．

解答： 解：（Ⅰ）设y=x+b与抛物线y²=2px（p＞0）相切，且与l：y=x+1的最小距离为

2

4

，
则

|b-1|

2

=

2

4

，∴b=

1

2

或

3

2

（舍去），
y=x+

1

2

与抛物线y²=2px联立，可得x²+（1-2p）x+

1

4

=0，
∴△=（1-2p）²-4=0，
∴p=1或p=0（舍去），
∴抛物线方程为y²=2x；
（Ⅱ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），N（x₀，y₀），则
过点A的切线方程为yy₁=x+x₁，
点N在直线上，故有y₀y₁=x₀+x₁，
同理，y₀y₂=x₀+x₂，
故直线AB的方程为y₀y=x₀+x，
y₀=x₀+1代入整理可得（y-1）x₀+1-x=0，
∴AB恒过（1，1），
O到直线AB距离最大，显然直线AB的方程为y=-x+2，
代入抛物线方程，整理得x²-6x+4=0，
∴x₁+x₂=6，x₁x₂=4，
∴|AB|=

2

•

36-16

=2

10

，
∴原点O到直线AB的距离最大时，三角形OAB的面积为

1

2

×

2

×2

10

=2

5

．

点评：本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，确定抛物线的方程是关键．