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(2012•许昌县一模)选修4一5:不等式选讲
设函数f(x)=|x-1|+|x-a|.
(I)若a=-1,解不等式,f(x)≥3;
(II)如果对于任意实数x,恒有f(x)≥2成立,求a的取值范围.
分析:(I)由函数f(x)=|x-1|+|x-a|,知当a=1时,不等式f(x)≥3等价于|x-1|+|x+1|≥3,根据绝对值的几何意义能求出不等式f(x)≥3的解集.
(II)对?x∈R,f(x)≥2,只需f(x)的最小值大于等于2.当a≥1时,f(x)=|x-1|+|x-a|=
2x-a-1,x≥a
a-1,1≤x<a
-2x+a+1,x<1
,f(x)min=a-1.同理,得当a<1时,f(x)min=1-a,由此能求出a的取值范围.
解答:解:(I)∵函数f(x)=|x-1|+|x-a|,
∴当a=1时,不等式f(x)≥3等价于|x-1|+|x+1|≥3,
根据绝对值的几何意义:
|x-1|+|x+1|≥3可以看做数轴上的点x到点1和点-1的距离之和大于或等于3,
则点x到点1和点-1的中点O的距离大于或等于
3
2
即可,
∴点x在-
3
2
或其左边及
3
2
或其右边,
x≤-
3
2
x≥
3
2

∴不等式f(x)≥3的解集为(-∞,-
3
2
]∪[
3
2
,+∞)

(II)对?x∈R,f(x)≥2,
只需f(x)的最小值大于等于2.
当a≥1时,f(x)=|x-1|+|x-a|=
2x-a-1,x≥a
a-1,1≤x<a
-2x+a+1,x<1

∴f(x)min=a-1.
同理,得当a<1时,f(x)min=1-a,
a≥1
a-1≥2
a<1
1-a≥2

解得a≥3,或a≤-1,
∴a的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).
点评:本题考查含绝对值不等式的解法,考查实数的取值范围,综合性强,难度大,是高考的重点.解题时要认真审题,合理运用函数恒成立的性质进行等价转化.
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