Question

15．若对任意的 x，y∈（0，+∞），不等式e^x+y-4+e^x-y-4+6≥4xlna恒成立，则正实数a的最大值是（　　）

• A． $\sqrt{e}$
• B． $\frac{1}{2}e$
• C． e
• D． 2e

Answer 1

分析 通过参数分离，利用基本不等式放缩可知问题转化为2lna≤$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$在x＞0时恒成立，记g（x）=$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$，二次求导并结合单调性可知当x=4时g（x）取得最小值g（4）=1，进而计算即得结论．

解答 解：设f（x）=e^x+y-4+e^x-y-4+6，则问题转化为不等式4xlna≤f（x）恒成立．
又∵f（x）=e^x-4（e^y+e^-y）+6≥6+2e^x-4（当且仅当y=0时取等号），
∴4xlna≤6+2e^x-4，即有2lna≤$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$在x＞0时恒成立，
记g（x）=$\frac{3+{e}^{x-4}}{x}$，则g′（x）=$\frac{{e}^{x-4}（x-1）-3}{{x}^{2}}$，
令g′（x）=0，即（x-1）e^x-4=3，
记h（x）=（x-1）e^x-4，则h′（x）=xe^x-4，
∵x＞0，e^x-4＞0，
∴h′（x）＞0，∴h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又∵h（4）=3，即有（x-1）e^x-4=3的根为4，
∴当x＞4时g（x）递增，当0＜x＜4时g（x）递减，
∴当x=4时，g（x）取得最小值g（4）=1，
∴2lna≤1，lna≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜a≤$\sqrt{e}$，（当x=2，y=0时，a取得最大值$\sqrt{e}$），
故选：A．

点评 本题考查不等式恒成立问题的常用方法是注意转化为求函数的最值问题，运用参数分离和构造函数再利用导数判断单调性是解题的关键，注意解题方法的积累，属于难题．