Question

14．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，a₁₁=8，设b_n=log₂a_n，且b₄=17．
（Ⅰ）求证：数列{b_n}是以-2为公差的等差数列；
（Ⅱ）设数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用等比数列以及对数的运算法则，转化证明数列{b_n}是以-2为公差的等差数列；
（Ⅱ）求出数列的和，利用二次函数的性质求解最大值即可．

解答 （本小题共13分）
解：（Ⅰ）证明：设等比数列{a_n}的公比为q，
则b_n+1-b_n=log₂a_n+1-log₂a_n=$lo{g_2}\frac{{{a_{n+1}}}}{a_n}$=log₂q，
因此数列{b_n}是等差数列．
又b₁₁=log₂a₁₁=3，b₄=17，
又等差数列{b_n}的公差$d=\frac{{{b_{11}}-{b_4}}}{7}=-2$，
即b_n=25-2n．即数列{b_n}是以-2为公差的等差数列．…（6分）
（Ⅱ）设等差数列{b_n}的前n项和为S_n，
则${S_n}=\frac{{（{b_1}+{b_n}）}}{2}$n=$\frac{（23+25-2n）n}{2}$=（24-n）n=-（n-12）²+144，
于是当n=12时，S_n有最大值，最大值为144．…（13分）

点评 本题考查数列求和，等差数列的证明，考查转化思想以及计算能力．