Question

14．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$满足|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，则|$\overrightarrow{b}$|的取值范围是（0，1）；|$\overrightarrow{b}$|²-（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²的最大值为$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 设设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，由已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，可得∠ACB=120°，由正弦定理可得|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，从而可求|$\overrightarrow{b}$|的取值范围；运用向量数量积的定义和性质，化简可得|$\overrightarrow{b}$|²-（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{b}$|²-（|$\overrightarrow{b}$|cosA）²=|$\overrightarrow{b}$|²（sinA）²=$\frac{4}{3}$（sinAsinB）²，A+B=60°，设A=30°-α，B=30°+α，（-30°＜α＜30°），运用两角和差的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．

解答 解：设$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，
如图所示：
则由$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$，
又∵$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{b}$-$\overrightarrow{a}$的夹角为120°，
∴∠ACB=120°，
又由|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{a}$|=1，0°＜B＜60°，
由正弦定理$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow{b}|}{sinB}$，
得|$\overrightarrow{b}$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
∴|$\overrightarrow{b}$|∈（0，1）．
而|$\overrightarrow{b}$|²-（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$）²=|$\overrightarrow{b}$|²-（|$\overrightarrow{b}$|cosA）²=|$\overrightarrow{b}$|²（sinA）²=$\frac{4}{3}$（sinAsinB）²，
又A+B=60°，设A=30°-α，B=30°+α，（-30°＜α＜30°），
则sinAsinB=sin（30°-α）sin（30°+α）=sin²30°-sin²α=$\frac{1}{4}$-sin²α≤$\frac{1}{4}$，
当sinα=0即α=0°时，sinAsinB取得最大值$\frac{1}{4}$，
即有$\frac{4}{3}$（sinAsinB）²的最大值为$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{12}$．
故答案为：（0，1），$\frac{1}{12}$．

点评 本题主考查了向量的减法运算的三角形法则，考查了三角形的正弦定理及三角函数的性质，同时考查向量的数量积的定义和性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．