Question

13．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，若点D、E都在边BC上，且∠BAD=∠CAE=15°，则$\frac{BD•BE}{CD•CE}$=$\frac{9}{16}$．

Answer 1

分析 根据条件便可由正弦定理分别得到$\frac{BD}{sin15°}$=$\frac{3}{sin∠BDA}$①$\frac{BE}{sin75°}$=$\frac{3}{sin∠AEB}$②$\frac{CE}{sin15°}$=$\frac{4}{sin∠AEB}$③$\frac{CD}{sin75°}$=$\frac{4}{sin∠BDA}$④，而sin∠BDA=sin∠ADC，sin∠BEA=sin∠AEC，从而$\frac{①}{④}•\frac{②}{③}$得：$\frac{BD•BE}{CD•CE}$的值．

解答 解：如图，由正弦定理得，$\frac{BD}{sin15°}$=$\frac{3}{sin∠BDA}$①
$\frac{BE}{sin75°}$=$\frac{3}{sin∠AEB}$②
$\frac{CE}{sin15°}$=$\frac{4}{sin∠AEB}$③
$\frac{CD}{sin75°}$=$\frac{4}{sin∠BDA}$④
∴$\frac{①}{④}•\frac{②}{③}$得：$\frac{BD•BE}{CD•CE}$=$\frac{9}{16}$．
故答案为$\frac{9}{16}$．

点评 考查正弦定理以及三角函数的诱导公式：sin（π-α）=sinα，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理是关键．