Question

18．在直角坐标系xOy中，过点P（2，1）的直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\sqrt{3}t}\\{y=1+t}\end{array}\right.$（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，已知直线l与曲线C交于A、B两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，即ρ²sin²θ=2ρcosθ，利用互化公式可得直角坐标方程．
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t′}\\{y=1+\frac{1}{2}t′}\end{array}\right.$代入抛物线方程可得：$\frac{1}{4}$t′²+（1-$\sqrt{3}$）t′-3=0．利用根与系数的关系、参数的几何意义即可得出．

解答 解：（1）曲线C的极坐标方程为ρsin²θ=2cosθ，即为ρ²sin²θ=2ρcosθ，化为普通方程为：y²=2x；
（2）把直线l的参数方程$\left\{\begin{array}{l}{x=2+\frac{\sqrt{3}}{2}t′}\\{y=1+\frac{1}{2}t′}\end{array}\right.$代入抛物线方程可得：$\frac{1}{4}$t′²+（1-$\sqrt{3}$）t′-3=0．
∴t′₁t′₂=-12．
∴|PA|•|PB|=|t′₁t′₂|=12．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化公式、直线的参数方程及其应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．