Question

8．已知双曲线C的中心在原点且对称轴为坐标轴，C的一条渐近线与焦点为F的抛物线y²=8x交于点P，且|PF|=4，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

Answer 1

分析 利用抛物线方程以及性质求出P的坐标，代入双曲线的渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可．

解答 解：抛物线y²=8x上的点P，且|PF|=4，可得P（2，±4），
双曲线的焦点坐标在x轴时，一条渐近线为：bx+ay=0，可得2b-4a=0，即b²=4a²，可得e=$\sqrt{5}$．
双曲线的焦点坐标在y轴时，一条渐近线为：ax+by=0，可得4b-2a=0，即4b²=a²，可得e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
所求双曲线的离心率为：$\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．
故答案为：$\sqrt{5}$或$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题考查双曲线以及抛物线的简单性质的应用，考查转化思想以及分类讨论思想的应用．