Question

13．已知函数$f（x）=\frac{1}{x}+klnx$，k≠0．
（Ⅰ）当k=2时，求函数f（x）切线斜率中的最大值；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）=k有解，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的定义域，导数，推出切线的斜率，然后求解函数f（x）切线斜率中的最大值；
（Ⅱ）关于x的方程f（x）=k有解，令$g（x）=f（x）-k=\frac{1}{x}+klnx-k$，则问题等价于函数g（x）存在零点，
求出${g^'}（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}=\frac{kx-1}{x^2}$．通过当k＜0时，当k＞0时，判断函数的单调性以及求解函数的最值，推出结果即可．

解答 解：（Ⅰ）函数$f（x）=\frac{1}{x}+klnx$的定义域为（0，+∞）.${f^'}（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}（{x＞0}）$
当k=2时，${f^'}（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{2}{x}=-（{\frac{1}{x}-1}）+1≤1$，
所以函数f（x）切线斜率的最大值为1．
（Ⅱ）因为关于x的方程f（x）=k有解，
令$g（x）=f（x）-k=\frac{1}{x}+klnx-k$，则问题等价于函数g（x）存在零点，
所以${g^'}（x）=-\frac{1}{x^2}+\frac{k}{x}=\frac{kx-1}{x^2}$．
当k＜0时，g′（x）＜0对（0，+∞）成立，
函数g（x）在（0，+∞）上单调递减．
而g（1）=1-k＞0，$g（{{e^{1-\frac{1}{k}}}}）=\frac{1}{{{e^{1-\frac{1}{k}}}}}+k（{1-\frac{1}{k}}）-k$=$\frac{1}{{{e^{1-\frac{1}{k}}}}}-1＜\frac{1}{e}-1＜0$，
所以函数g（x）存在零点．
当k＞0时，令g′（x）=0，得$x=\frac{1}{k}$．
g′（x），g（x）随x的变化情况如下表：

x	（0，$\frac{1}{k}$）	$\frac{1}{k}$	（$\frac{1}{k}$，+∞）
g'（x）	-	0	+
g（x）	↘	极小值	↗

所以$g（{\frac{1}{k}}）=k-k+kln\frac{1}{k}=-klnk$为函数g（x）的最小值，
当$g（{\frac{1}{k}}）＞0$时，即0＜k＜1时，函数g（x）没有零点，
当$g（{\frac{1}{k}}）≤0$时，即k≥1时，注意到$g（e）=\frac{1}{e}+k-k＞0$，
所以函数g（x）存在零点．
综上，当k＜0或k≥1时，关于x的方程f（x）=k有解．

点评 本题考查函数与导数的综合应用，考查函数的单调性以及函数的极值，分类讨论思想的应用，考查计算能力．