Question

17．已知f（x）=lnx，g（x）=-$\frac{m}{2}{x^2}+（{m+1}）x，m＞0$．
（1）记h（x）=f（x）-g（x），讨论h（x）的单调性；
（2）若f（x）＜g（x）在（0，m）上恒成立，求m的最大整数．

Answer 1

分析 （1）求导，令h′（x）=0，求得可能的极值点，根据m的取值范围，即可求得h（x）的单调性；
（2）由（1）可知，h（x）＜0在（0，m）上恒成立，欲使h（x）＜0在（0，m）上恒成立，则只须h（m）≤0，即可求得m的最大整数．

解答 解：（1）由$h（x）=lnx+\frac{m}{2}{x^2}-（{m+1}）x$的定义域为{x|x＞0}，求导，$h'（x）=\frac{1}{x}+mx-（{m+1}）=\frac{{m{x^2}-（{m+1}）x+1}}{x}=\frac{{（{mx-1}）（{x-1}）}}{x}$．
令h'（x）=0得$x=\frac{1}{m}$或x=1．
∴当m=1时，h'（x）≥0，h（x）在（0，+∞）上单调递增；
当m＞1时，令h'（x）＞0，得$x∈（{0，\frac{1}{m}}）∪（{1，+∞}）$，令h'（x）＜0，得$x∈（{\frac{1}{m}，1}）$，
∴h（x）在$（{0，\frac{1}{m}}）$，（1，+∞）上单调递增，在$（{\frac{1}{m}，1}）$上单调递减；
当0＜m＜1时，令h'（x）＞0，得$x∈（{0，1}）∪（{\frac{1}{m}，+∞}）$，令h'（x）＜0，得$x∈（{1，\frac{1}{m}}）$，
∴h（x）在$（{0，1}），（{\frac{1}{m}，+∞}）$上单调递增，在$（{1，\frac{1}{m}}）$上单调递减．
（2）由（1）可知，h（x）＜0在（0，m）上恒成立，
当0＜m≤1时，h（x）在（0，1）上单调递增，
∴$h（x）≤h（1）=0+\frac{m}{2}-m-1=-\frac{m}{2}-1＜0$，
故0＜m≤1时，h（x）＜0在（0，m）上恒成立．
当m＞1时，h（x）在$（{0，\frac{1}{m}}）$上单调递增，在$（{\frac{1}{m}，1}）$上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，
而$h（{\frac{1}{m}}）=ln\frac{1}{m}+\frac{1}{2m}-1-\frac{1}{m}=ln\frac{1}{m}-\frac{1}{2m}-1＜0$，
欲使h（x）＜0在（0，m）上恒成立，则只须h（m）≤0，
∵$h（m）=lnm+\frac{m^3}{2}-m（{m+1}）$，
当m=2时，h（2）=ln2+4-6=ln2-2＜0，
当m=3时，$h（3）=ln3+\frac{27}{2}-12=ln3+\frac{3}{2}＞0$，
故m的最大整数为2．

点评 本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调与最值，考查转化思想，分类讨论思想，属于中档题．