Question

12．已知定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（3-x），当x∈（0，2]时，f（x）=-x²+4，则函数y=f（x）-a（a∈R）在区间[-4，8]上的零点个数最多时，所有零点之和为14．

Answer 1

分析 利用函数的奇偶性以及函数的对称性，画出函数的图象，判断函数y=f（x）-a（a∈R）在区间[-4，8]上的零点个数最多时的位置，求解零点之和．

解答 解：定义域为R的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（3-x），
函数的图象关于x=2对称，
当x∈（0，2]时，f（x）=-x²+4，在[-4，8]上y=f（x）的图象如图：
函数y=f（x）-a（a∈R）在区间[-4，8]上的零点个数最多7个，图象中的红色点．
零点之和为：-4-2+0+2+4+6+8=14．
故答案为：14．

点评 本题考查函数的零点个数，数形结合，考查转化思想以及计算能力．