已知函数y=f(x)是R上的偶函数,对?x∈R都有f(x+4)=f(x)+f(2)成立.当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有<0,给出下列命题:
①f(2)=0;
②直线x=-4是函数y=f(x)图象的一条对称轴;
③函数y=f(x)在[-4,4]上有四个零点;
④f(2 014)=0.
其中所有正确命题的序号为________.
①②④
【解析】令x=-2,得f(-2+4)=f(-2)+f(2),解得f(-2)=0,因为函数f(x)为偶函数,所以f(2)=0,①正确;因为f(-4+x)=f(-4+x+4)=f(x),f(-4-x)=f(-4-x+4)=f(-x)=f(x),所以f(-4+x)=f(-4-x),即x=-4是函数f(x)的一条对称轴,②正确;当x1,x2∈[0,2],且x1≠x2时,都有<0,说明函数f(x)在[0,2]上是单调递减函数,又f(2)=0,因此函数f(x)在[0,2]上只有一个零点,由偶函数知函数f(x)在[-2,0]上也只有一个零点,由f(x+4)=f(x),知函数的周期为4,所以函数f(x)在(2,6]与[-6,-2)上也单调且有f(6)=f(-6)=0,因此,函数在[-4,4]上只有2个零点,③错;对于④,因为函数的周期为4,即有f(2)=f(6)=f(10)=…=f(2 014)=0,④正确.
科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用5练习卷(解析版) 题型:填空题
下面四个图象中,有一个是函数f(x)=x3+ax2+(a2-1)x+1(a∈R)的导函数y=f′(x)图象,则f(-1)等于________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用22练习卷(解析版) 题型:解答题
如图,圆O1与圆O2内切于点A,其半径分别为r1与r2(r1>r2),圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上).
求证:AB∶AC为定值.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用20练习卷(解析版) 题型:解答题
如图,四边形ABCD是矩形,平面ABCD⊥平面BCE,BE⊥EC.
(1)求证:平面AEC⊥平面ABE;
(2)点F在BE上.若DE∥平面ACF,求的值.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用20练习卷(解析版) 题型:填空题
设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,有下列四个命题:
①若l⊥α,m?α,则l⊥m;②若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
③若l∥α,m?α,则l∥m;④若l∥α,m∥α,则l∥m.
则其中正确命题的序号是________.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用16练习卷(解析版) 题型:解答题
如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2AD=2CD=2,E是PB的中点.
(1)求证:平面EAC⊥平面PBC;
(2)若二面角P-AC-E的余弦值为,求直线PA与平面EAC所成角的正弦值.
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科目:高中数学 来源:2014年高考数学(文)二轮复习专题提升训练江苏专用11练习卷(解析版) 题型:填空题
若直线ax+by=1过点A(b,a),则以坐标原点O为圆心,OA长为半径的圆的面积的最小值是________.
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