Question

已知函数y=f（x）和y=g（x）在[-2，2]的图象如图所示：

给出下列四个命题：
①方程g[g（x）]=0有且仅有3个根      ②方程g[f（x）]=0有且仅有4个根  
③方程f[f（x）]=0有且仅有5个根      ④方程f[g（x）]=0有且仅有6个根．
其中正确的命题的序号是

②③④

．

Answer 1

分析：把复合函数的定义域和值域进行对接，看满足外层函数为零时内层函数有几个自变量与之相对应．通过f（x）=0可知函数有三个解，g（x）=0有2个解，具体分析①②③④推出正确结论．

解答：解：由图象可得-2≤g（x）≤2，-2≤f（x）≤2，
①由于满足方程g[g（x）]=0 的g（x）值有2个，
而结合图象可得，每个g（x）值对应2个不同的x值，
故满足方程g[g（x）]=0 的x值有4个，
即方程g[g（x）]=0有且仅有4个根，故①不正确；
②满足g（x）=0的有两个，一个值处于-2与-1间，另一个值处于0与1间，由图象可知，满足f（x）值为该两值的有1+3=4个点，因此该方程有且仅有4个根．
故②正确．
③由于满足方程f[f（x）]=0的f（x）有3个不同的值，从图中可知，一个f（x）等于0，
一个f（x）∈（-2，-1），一个f（x）∈（1，2）．
而当f（x）=0对应了3个不同的x值；当f（x）∈（-2，-1）时，只对应一个x值；
当f（x）∈（1，2）时，也只对应一个x值．
故满足方程f[f（x）]=0的x值共有5个，故③正确．
④由于满足方程f[g（x）]=0 的g（x）有三个不同值，由于每个值g（x）对应了2个x值，
故满足f[g（x）]=0的x值有6个，即方程f[g（x）]=0有且仅有6个根，故④正确．
故答案为：②③④．

点评：本题考查根的存在性及根的个数判断，函数的图象，考查逻辑思维能力及识别图象的能力，是中档题．