Question

【题目】设椭圆中心在坐标原点，焦点在x轴上，一个顶点坐标为（2，0），离心率为 ．
（1）求这个椭圆的方程；
（2）若这个椭圆左焦点为F1 ， 右焦点为F2 ， 过F1且斜率为1的直线交椭圆于A、B两点，求△ABF2的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆的方程为 ，

由题意，a=2， = ，∴c= ，b=1，

∴椭圆的方程为

（2）解：左焦点F1（﹣ ，0），右焦点F2（ ，0），设A（x1，y1 ），

B（x2，y2），

则直线AB的方程为 y=x+ ．

由 ，消x得 5y2﹣2 y﹣1=0．∴y1+y2= ，y1y2=﹣ ，

∴|y1﹣y2|= = ．

∴S△ABF2= + = +

= = = ．

【解析】（1）设椭圆的方程为 ，有条件求得a 和c，从而求得b，进而得到椭圆的方程．（2）把直线AB的方程 代入椭圆的方程化简，利用根与系数的关系，求出|y1﹣y2|的值，利用S△ABF2= + = + 求得结果．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．