Question

【题目】已知数列 的首项 ，前n项和为 ，且 .
（1）证明数列 是等比数列；
（2）令 ，求函数 在点x＝1处的导数 ，并比较 与 的大小.

Answer 1

【答案】
（1）证明：由已知 ，

∴ 时， ，

①②两式相减，得

，

即 ，

从而 .

当n＝1 时， ，

∴ .

又 ，故 ，

从而 .

故总有 .

又∵ ，∴ ，从而 ，

即 是以 为首项，2为公比的等比数列.

（2）证明：由(1)可知 .

∵ ，

∴ .

从而

.

则

. (*)

当n＝1时，(*)式＝0，

∴ ；

当n＝2 时，(*)式＝－12＜0，

∴ ；

当 时， ，

又 ，

∴ ，

即(*)式＞0，从而 .

【解析】本题主要考查了比较法证明不等式，解决问题的关键是根据在比较大小时，作差法的差式与“n”的取值有关，且大小关系随“n”的变化而变化. 此类比较大小的题是典型的结论不唯一的题.在数列中，大小问题可能会随“n”变化而变化.往往n＝1，2，…，前几个自然数对应的值与后面 的值大小不一样，这就要求在解答这样的题时，要时刻有“大小关系不一定唯一”的念头，即时刻提醒自己所求解的问题是否需要讨论.