Question

奇函数f（x）（x∈R）满足：f（-4）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减和递增，则不等式（x²-4）f（x）＜0的解集为

（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）

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Answer 1

分析：由题意，可先研究奇函数f（x）（x∈R）的特征，得出f（x）＜0的解集与f（x）＞0的解集，再研究x²-4符号为正时x的取值范围与符号为负时x的取值范围，不等式（x²-4）f（x）＜0说明（x²-4）与f（x）符号相反，由此判断出不等式的解集即可得到答案

解答：解：由题意奇函数f（x）（x∈R）满足：f（-4）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减和递增
可得f（4）=0
由上知，当x≥0时，f（x）＜0的解集（0，4），f（x）＞0的解集（4，+∞），
由于函数是奇函数，故当x＜0时，f（x）＜0的解集（-∞，-4），f（x）＞0的解集（-4，0），
令x²-4＞0解得x＞2或x＜-2
∴不等式（x²-4）f（x）＜0的解集为（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）
故答案为（-∞，-4）∪（-2，0）∪（2，4）

点评：本题考点是奇偶性与单调性的综合，考查了奇函数的对称性，函数单调性及由题设条件判断函数值的符号，解题的关键是理解两个因子乘积小于0，则两者的符号相反，本题考查了判断推理的能力及数形结合的思想，是函数性质考察的经典题，在高考中也多有出现．