Question

16．各项均不为0的数列{a_n}满足$\frac{{{a_{n+1}}（{{a_n}+{a_{n+2}}}）}}{2}={a_{n+2}}{a_n}$，且a₂=2a₆=$\frac{1}{5}$，则数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前10项和为$\frac{375}{4}$．

Answer 1

分析 根据数列的递推公式可得{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，再根据a₂=2a₆=$\frac{1}{5}$，求出公差和首项，根据前n项和公式计算即可．

解答 解：∵$\frac{{a}_{n+1}（{a}_{n}+{a}_{n+2}）}{2}$=a_n+2a_n，
∴a_n+1a_n+a_n+1a_n+2=2a_n+2a_n，
两边同除以a_na_n+1a_n+2得$\frac{1}{{a}_{n+2}}$+$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{2}{{a}_{n+1}}$，
∴{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是等差数列，
∵a₂=2a₆=$\frac{1}{5}$，
∴$\frac{1}{{a}_{2}}$=5，$\frac{1}{{a}_{6}}$=10，
设{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公差为d，
∴4d=5，
∴d=$\frac{5}{4}$，
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=$\frac{15}{4}$，
∴数列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前10项和10×$\frac{15}{4}$+$\frac{10×（10-1）}{2}$×$\frac{5}{4}$=$\frac{375}{4}$
故答案为：$\frac{375}{4}$

点评 本题考查了数列的递推公式和等差数列的前n项和公式，考查了学生的运算能力，属于中档题．