Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，∠ABC=120°，AD=CD= ，直线PC与平面ABCD所成角的正切为 ．
（1）设E为直线PC上任意一点，求证：AE⊥BD；
（2）求二面角B﹣PC﹣A的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：设O为线段AC的中点，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，从而B，O，D三点共线，即O为AC与DB的交点

又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD

又AC∩PA=A，所以DB⊥平面PAC

因为E为直线PC上任意一点，所以AE平面PAC，所以AE⊥BD

（2）解：以 所在方向为x轴， 所在方向为y轴，过O作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系

由题意，AC=2 ，OB=1，OD=2

又PA⊥平面ABCD，故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA，∴tan∠PCA

所以PA= ，所以B（﹣1，0，0），C（0，﹣ ，0），P（0， ， ）

， ∴

设平面BPC的法向量 ，由 ，有

解得 …（10分）

由（1），取平面PCA的法向量 ．

所以cos＜ ＞=

所以二面角B﹣PC﹣A的正弦值为

【解析】（1）设O为线段AC的中点，由AB=BC知BO⊥AC，由AD=CD知DO⊥AC，从而B，O，D三点共线，即O为AC与DB的交点，可得DB⊥平面PAC即可得AE⊥BD；（2）以 所在方向为x轴， 所在方向为y轴，过O作AP的平行线为z轴，建立空间直角坐标系由题意，AC=2 ，OB=1，OD=2，又PA⊥平面ABCD，故直线PC与平面ABCD所成角即为∠PCA，由tan∠PCA 求得PA，利用向量求解
【考点精析】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系的相关知识点，需要掌握相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；平行直线：同一平面内，没有公共点；异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点才能正确解答此题．