Question

3．已知m∈R，复数$z=\frac{m（m+2）}{m-1}+（{m^2}+2m-1）i$，当m为何值时：
（1）z∈R；
（2）z是虚数；
（3）z是纯虚数．

Answer 1

分析 （1）根据虚部为零，列出方程进行求解；
（2）令它的实部为不为零，虚部不为零，列出方程及不等式进行求解；
（3）根据实部为零，虚部不为零列出不等式组进行求解即可．

解答 解：（1）当z∈R，当$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}+2m-1=0}\\{m-1≠0}\end{array}\right.$，解得m=-1±$\sqrt{2}$，
∴当m=-1±$\sqrt{2}$，z是实数；
（2）当z是虚数时，则有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≠0}\\{{m}^{2}+2m-1≠0}\end{array}\right.$，解得m≠-1±$\sqrt{2}$且m≠1
即m≠-1±$\sqrt{2}$且m≠1，z是虚数；
（3）当z是纯虚数时，则有$\left\{\begin{array}{l}{m-1≠0}\\{m（m+2）=0}\end{array}\right.$，且m²+2m-1≠0，解得m=0或m=-2．
即m=0或m=-2，z是纯虚数．

点评 本题考查了复数的基本概念，考查复数的几何意义，解题的关键是理解复数的分类及复数的几何意义：复数与平面内的点一一对应．