Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）经过点（ ，1），且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M、N是椭圆C上的点，直线OM与ON（O为坐标原点）的斜率之积为﹣ ，若动点P满足 ，试探究，是否存在两个定点F1 ， F2 ， 使得|PF1|+|PF2|为定值？若存在，求F1 ， F2的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）经过点（ ，1），且离心率为 ，
∴ ，解得a=2，b= ，
∴椭圆C的方程为 ．
（Ⅱ）设P（x，y），M（x1 ， y1），N（x2 ， y2），
则由 ，得x=x1+2x2 ， y=y1+2y2 ，
∵M，N都在椭圆 上，
∴ ，
∴ （ ）
=（ ）+4（ ）+4（x1x2+2y1y2）
=20+4（x1x2+2y1y2），
设 =﹣ ，∴x1x2+2y1y2=0，
∴x2+2y2=20，∴点P是椭圆 上的点，
∴由椭圆的定义知存在点F1 ， F2 ， 满足|PF1|+|PF2|=2 =4 为定值，
又∵|F1F2|=2 =2 ，
∴F1 ， F2的坐标分别为F1（﹣ ，0），F2（ ，0）
【解析】（Ⅰ）由椭圆经过点（ ，1），且离心率为 ，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（Ⅱ）由 ，得x=x1+2x2 ， y=y1+2y2 ， 由M，N都在椭圆 上，设 =﹣ ，得到点P是椭圆 上的点，由此能求出F1 ， F2的坐标．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．