Question

已知椭圆的两个焦点分别为F₁(-c，0)和F₂(c，0)(c＞0)，过点的直线与椭圆相交于A，B两点，且F₁A∥F₂B，|F₁A|=2|F₂B|，
(Ⅰ)求椭圆的离心率；
(Ⅱ)求直线AB的斜率；
(Ⅲ)设点C与点A关于坐标原点对称，直线F₂B上有一点H(m，n)(m≠0)在△AF₁C的外接圆上，求的值。

Answer 1

解：(Ⅰ)由F₁A∥F₂B且|F₁A|=2|F₂B|，得，
从而，整理，得，
故离心率为。
(Ⅱ)由(Ⅰ)，得b²=a²-c²=2c²，
所以椭圆的方程可写为2x²+3y²=6c²，
设直线AB的方程为，即y=k(x-3c)，
由已知设A(x₁，y₁)，B（x₂，y₂），
则它们的坐标满足方程组，
消去y并整理，得(2+3k²)x²-18k²cx+27k²c²-6c²=0，
依题意，，得，
而，①
，②
由题设知，点B为线段AE的中点，所以x₁+3c=2x₂， ③
联立①③解得，
将x₁，x₂代入②中，解得。
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知x₁=0，，
当时，得，由已知得，
线段AF₁的垂直平分线l的方程为，
直线l与x轴的交点是△AF₁C的外接圆的圆心．
因此外接圆的方程为，
直线F₂B的方程为，
于是点H(m，n)的坐标满足方程组，
由m≠0，解得，
故。
当时，同理可得。