Question

如图，已知平行六面体的底面ABCD是菱形，且．

(1)证明：；

(2)略．

(3)当的值为多少时，能使平面?请给出证明．

Answer 1

答案：略
解析：

如图，连结、AC，AC和BD交于点O，连结．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，BC＝CD．又∵，，∴≌．∴．∵DO＝OB，∴．又AC⊥BD，AC∩＝O，∴BD⊥平面．又平面，∴． (2)略． (3)方法1：当时，能使⊥平面．∵，∴又∠BCD＝＝＝60°，由此可推得．∴三棱锥为正三棱锥．设与相交于点G，∵∥AC且：OC＝2：1，∴：GO＝2：1．又是正三角形的BD边上的高和中线，∴点G是正三角形GDB的中心．∴CG⊥平面，即⊥平面． 方法2：由(1)知BD⊥平面．∵面，∴BD⊥．当时，平行六面体的六个面是全等的菱形，同BD⊥的证法一样可得．又BD∩＝B，∴平面．本题第(3)问属开放性问题，在此解法中都是先利用已知条件猜测出结论，然后加以严格地证明，当我们掌握向量知识以后再来解此题，可直接推导．