Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=

an

an+1

．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=2 

1

an

-n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：整体思想,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）本题先构造新数列，由于新数列成等差，通过新数列的通项公式，求出已知数列的通项公式；
（Ⅱ）利用等比数列求和公式，先对数列进行求和，再解相应的不等式，求出n的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵an+1=

an

an+1

，a₁=1．
∴a_n≠0，
∴

1

an+1

=

1

an

+1，
即

1

an+1

-

1

am

=1．
∴{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴

1

an

=

1

a1

+(n-1)×1=n．
∴an=

1

n

．
（Ⅱ）bn=2

1

an

-n=2ⁿ-n，
∴S_n=b₁+b₂+…+b_n
=（2+2²+2³+…+2ⁿ）-（1+2+…+n）
=2n+1-2-

n(n+1)

2

．
∵Sn-2n+1+47＜0．
即2n+1-2-

n(n+1)

2

-2n+1+47＜0，
∴n²+n-90＞0，
∴n＞9或n＜-10．
∵n∈N^*，
∴n＞9．即n≥10．
∴n的最小值为10．

点评：本题考查了等差数列定义、等比数列求和公式，以及一元二次不等式，本题有一定的综合性，难度较大，属于中档题．