Question

(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；

(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

解　(1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝

0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.

②方法一　设f(x)的两个零点分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.

由题意，

∴－5<m<－1.故m的取值范围为(－5，－1)．

方法二　由题意，知

∴－5<m<－1.∴m的取值范围为(－5，－1)．

(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，即|4x－x2|＝－a.

令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.

作出g(x)、h(x)的图象．

由图象可知，当0<－a<4，

即－4<a<0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围为(－4,0)．