Question

已知二次函数y=f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），且函数y=f(x-

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)是偶函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）已知t＜2，g（x）=[f（x）-x²-13]•|x|，求函数g（x）在[t，2]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）根据函数y=f(x-

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)是偶函数可求得二次函数f（x）的对称轴方程，从而可求得b；
（2）先把g（x）化为分段函数，作出g（x）的图象，借助图象可直接求得在[t，2]上的最大值，分情况讨论可得g（x）的最小值；

解答：解 （1）因为函数y=f(x-

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)是偶函数，所以二次函数f（x）=x²+bx+c的对称轴方程为x=-

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，故b=1．
又因为二次函数f（x）=x²+bx+c的图象过点（1，13），所以1+b+c=13，故c=11．
因此，f（x）的解析式为f（x）=x²+x+11．
（2）g（x）=（x-2）|x|，
当x≤0时，g（x）=-（x-1）²+1，当x＞0时，g（x）=（x-1）²-1，作出g（x）的图象，如下图所示：
由图象知，g（x）在[t，2]上的最大值g_max（x）=0，
当1≤t＜2时，g_min（x）=t²-2t；当1-

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≤t＜1时，g_min（x）=-1；当t＜1-

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时，g_min（x）=-t²+2t；
故g（x）在[t，2]上的最大值为0；最小值g_min（x）=

t2-2t，1≤t＜2 -1，1- 2 ≤t＜1 -t2+2t，t＜1- 2

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点评：本题考查二次函数的性质及二次函数在闭区间上的最值，考查分类讨论思想，属中档题．