Question

12．已知（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的比值为64．
（1）判断该展开式中有无x²项？若有，求出它的系数，若没有，说明理由．
（2）求出展开式中所有的有理项．

Answer 1

分析 （1）由题意求得n=6，在通项公共式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，可得结论．
（2）令x的幂指数6-$\frac{4r}{3}$为整数，可得r=0，3，6，从而求得展开式中所有的有理项．

解答 解：（1）∵（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ展开式中的二项式系数之和为2ⁿ，各项系数之和为1，
（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ展开式中的二项式系数之和与各项系数之和的比值为64，可得2ⁿ=64，n=6，
故（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）ⁿ=（2x-$\frac{1}{\root{3}{x}}$）⁶ 的展开式开式的通项公式为 T_r+1=${C}_{6}^{r}$•2^6-r•（-1）^r•${x}^{6-\frac{4r}{3}}$，
令6-$\frac{4r}{3}$=2，求得r=3，故展开式中有x²项，该项的系数为${C}_{6}^{3}$•2³•（-1）=-160．
（2）令x的幂指数6-$\frac{4r}{3}$为整数，可得r=0，3，6，
故有理项分别为T₁=${C}_{6}^{0}$•2⁶•x⁶=64x⁶； T₄=${C}_{6}^{3}$•2³•（-1）•x²=-160x²； T₇=${C}_{6}^{6}$•x^-2=$\frac{1}{{x}^{2}}$．

点评 本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．