已知函数.
(1) 当时,函数恒有意义,求实数a的取值范围;
(2) 是否存在这样的实数a,使得函数在区间上为增函数,并且的最大值为1.如果存在,试求出a的值;如果不存在,请说明理由.
(1);(2)存在,.
解析试题分析:(1)首先根据对数函数的底数 ,得到为减函数,最小值是 ,再根据对数函数的真数大于0,得到 恒成立,在 范围内解不等式即可;(2)先看真数部分是减函数,由已知“在区间上为增函数”可得,为减函数,此时得到;根据“的最大值为1”,结合对数函数的真数大于0,可知,解出,再判断它是不是在的范围内,在这个范围内,那么得到的的值满足题目要求,不在这个范围内就说明满足题目要求的是不存在的.
试题解析:(1)∵,设,
则为减函数,时,t最小值为, 2分
当,恒有意义,即时,恒成立.即;4分
又,∴ 6分
(2)令,则; ∵,∴ 函数为减函数,
又∵在区间上为增函数,∴为减函数,∴,8分
所以时,最小值为,此时最大值为;9分
又的最大值为1,所以, 10分
∴,即, 所以,故这样的实数a存在. 12分
考点:1.对数函数的定义及定义域;2.对数函数的单调性及其应用;3.对数函数的值域与最值;4.简单复合函数的单调性;5.解不等式
科目:高中数学 来源: 题型:解答题
为了预防流感,某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中,室内每立方米空气中的含药量毫克)与时间(小时)成正比;药物释放完毕后,与的函数关系式为(为常数),如图所示,根据图中提供的信息,回答下列问题:
(1)求从药物释放开始,每立方米空气中的含药量(毫克)与时间(小时)之间的函数关系式;
(2)据测定,当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时,学生方可进教室.那从药物释放开始,至少需要经过多少小时后,学生才能回到教室?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
一企业生产的某产品在不做电视广告的前提下,每天销售量为b吨.经市场调查后得到如下规律:若对产品进行电视广告的宣传,每天的销售量S(吨)与电视广告每天的播放量n(次)的关系可用如图所示的程序框图来体现.
(1)试写出该产品每天的销售量S(吨)关于电视广告每天的播放量n(次)的函数关系式;
(2)要使该产品每天的销售量比不做电视广告时的销售量至少增加90%,则每天电视广告的播放量至少需多少次?
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
近年来,网上购物已经成为人们消费的一种趋势。假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式其中2<x<6,m为常数,已知销售价格为4元/件时,每月可售出21千件。(1)求m的值; (2)假设该淘宝店员工工资、办公等每月所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数),试确定销售价格x的值,使该店每月销售饰品所获得的利润最大.(结果保留一位小数)
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量(单位:千克)与销售价格(单位:元/千克)满足关系式,其中,为常数.已知销售价格为5元/千克时,每日可售出该商品11千克.
(Ⅰ)求的值;
(Ⅱ)若该商品的成本为3元/千克,试确定销售价格的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大.
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