Question

（2008•长宁区二模）在平面直角坐标系xOy中，过定点C（2，0）作直线与抛物线y²=4x相交于A，B两点，如图，设动点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）．
（1）求证：y₁y₂为定值；
（2）若点D是点C关于坐标原点O的对称点，求△ADB面积的最小值；
（3）求证：直线l：x=1被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值．

Answer 1

分析：（1）分情况讨论：当直线AB垂直于x轴时，计算得y₁y₂=-8；当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-2），代入抛物线方程得到关于y的一元二次方程，因此有y₁y₂=-8为定值．
（2）依题意可知点D的坐标，可由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设出直线AB的方程，与抛物线联立消去x，根据韦达定理求得y₁+y₂和的y₁y₂表达式，代入三角形面积公式中求得直线AB垂直于x轴时△ADB面积的最小值．
（3）先求出AC中点E(

x1+2

2

，

y1

2

)及AC=

(x1-2)2+y12

，从而得出以AC为直径的圆的半径的表达式，最后计算得到所截弦长为定值．

解答：解：（1）当直线AB垂直于x轴时，y1=2

2

，y2=-2

2

，因此y₁y₂=-8（定值）（2分）
当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为：y=k（x-2），
由

y=k(x-2) y2=4x

得ky²-4y-8k=0，∴y₁y₂=-8．
因此有y₁y₂=-8为定值．…（6分）
（2）D（-2，0），∴DC=4.S△ADB=

1

2

DC•|y1-y2|．…..…（7分）
当直线AB垂直于x轴时，S△ADB=

1

2

×4×4

2

=8

2

．；…（8分）
当直线AB不垂直于x轴时，由（1）知  y1+y2=

4

k

，因此|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1y2

=

16 k2 +32

＞4

2

，∴S△ADB＞8

2

．…．（11分）
综上，△ADB面积的最小值为8

2

．…．…..（12分）
（3）AC中点E(

x1+2

2

，

y1

2

)，…．…．（13分）AC=

(x1-2)2+y12

，因此以AC为直径的圆的半径r=

1

2

AC=

1

2

(x1-2)2+y12

=

1

2

x12+4

，…..…..（15分）AC中点E到直线x=1的距离d=|

x1+2

2

-1|，…．（16分）∴所截弦长为：2

r2-d2

=2

x12+4 4 -( x1+2 2 -1)2

=2（定值）．…..…（18分）

点评：本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力．