Question

已知函数f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx
（1）当a=0时，求f（x）的极值．
（2）当a≠0时，若f（x）是减函数，求a的取值范围；

Answer 1

分析：求函数的定义域（0，+∞）
（1）把a=0代入求导，研究函数的单调区间，根据单调性求函数的极值．
（2）由题意可得f′（x）≤0在（0，+∞）恒成立，转化为求函数f′（x）在（0，+∞）的最大值小于（等于）0，进而求解，也可利用二次函数的图象及根的分布问题求解．

解答：解：（1）∵f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx
当a=0时，f（x）=2x-lnx，则f′(x)=2-

1

x

（2分）
∴x，f'（x），f（x）的变化情况如下表
（5分）
∴当x=

1

2

时，f（x）的极小值为1+ln2，函数无极大值．（7分）

（2）由已知，得f(x)=

1

2

ax2+2x-lnx，且x＞0，则f′(x)=ax+2-

1

x

=

ax2+2x-1

x

（9分）
∵函数f（x）是减函数
∴f'（x）≤0对x＞0恒成立，即不等式

g(x)

x

=f′(x)-(2a+1)为

lnx

x

=ax+2-(2a+1)对恒成立（11分）
由二次函数的性质可得

a＜0 △=4+4a≤0

（13分）
解得a≤-1，即a的取值范围是（-∞，-1]（14分）
另解：f′(x)=ax+2-

1

x

≤0对x＞0恒成立，即a≤

1

x2

-

2

x

对x＞0恒成立，即a≤(

1

x2

-

2

x

)min=[(

1

x

-1)2-1]min=-1

点评：本题主要考查了导数的应用：求函数的极值及函数的单调区间；解决（II）的关键是把单调性问题转化为为恒成立的问题，根据导数的知识求解，但不要忘了对函数的定义域的判定．