Question

已知双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

，且过点(4，-

10

)，
（1）求此双曲线的标准方程；
（2）若直线系kx-y-3k+m=0（其中k为参数）所过的定点M恰在双曲线上，求证：F₁M⊥F₂M．

Answer 1

分析：（1）由题意双曲线的中心在原点，左右焦点分别为F₁，F₂，离心率为

2

，且过点(4，-

10

)，可先根据离心率得出a，b的关系，设出双曲线的方程，代入点(4，-

10

)，求出a，b的值，即可写出双曲线的标准方程；
（2）观察直线，发现这是一个直线系，将其化为k（x-3）-y+m=0，求出直线系过的定点，又此点在双曲线上，将其代入双曲线的标准方程可以求得m的值，由于本题要求证明两直线垂直，故可以求出两直线的斜率，验证其斜率的乘积为-1，从而证明出两直线垂直的关系．

解答：解：（1）∵e=

2

，∴

c

a

=

2

，∴c²=2a²=a²+b²，∴a=b，
∴设双曲线方程为x²-y²=a²（a＞0），∵双曲线经过(4，-

10

)，∴16-10=a²即a²=6，
∴所求双曲线方程为

x2

6

-

y2

6

=1．----------（4分）
（2）∵直线系方程可化为k（x-3）-y+m=0
∴直线系过定点M（3，m）．------------（5分）
∵M（3，m）在双曲线上，∴9-m²=6，，∴m²=3
又双曲线焦点坐标为F1(-2

3

，0)，F2(2

3

，0)
∴kF1M=

m

3+2 3

，kF2M=

m

3-2 3

-----------（7分）
∴kF1M•kF2M=

m2

(3+2 3 )(3-2 3 )

=-1∴F₁M⊥F₂M----------（10分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查了求双曲线的标准方程，圆锥曲线的点与两焦点的连线互相垂直的证明，理解题意，选恰当的解决方法是解答本题的关键，本题考查了推理判断能力及符号计算能力，综合性强，是近几年解析几何考查觉了的题型