Question

求下列函数的表达式：
（1）一次函数f（x）使得f{f[f（x）]}=-8x+3，求f（x）的表达式；
（2）已知f（x）满足f(x)+2f(

1

x

)=3x，求f（x）的表达式．

Answer 1

分析：（1）设f（x）=kx+b，k≠0，利用函数的对应法则，得到f{f[f（x）]}=k（k²x+kb+b）+b=k³x+k²b+kb+b=-8x+3，再由函数相等的性质，列出方程组

k3=-8 k2b+kb+b=3

，解出k，b的值，即可求出f（x）．
（2）利用函数的性质，把f(x)+2f(

1

x

)=3x中所有的变量x都换成变量

1

x

，得到f(

1

x

)+2f(x)=

3

x

，由此联立方程组，即可解出f（x）．

解答：解：（1）设f（x）=kx+b，k≠0，
则f[f（x）]=kf（x）+b=k²x+kb+b，
f{f[f（x）]}=k（k²x+kb+b）+b=k³x+k²b+kb+b=-8x+3，
∴

k3=-8 k2b+kb+b=3

，
解得k=-2，b=1，
∴f（x）=-2x+1．
（2）∵f(x)+2f(

1

x

)=3x，①
∴f(

1

x

)+2f(x)=

3

x

，②
②×2，得2f(

1

x

)+4f(x)=

6

x

，③
③-①，得3f（x）=

6

x

-3x，
∴f(x)=

2

x

-x．

点评：本题考查函数的解析式的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．