【题目】对于函数,若存在,使成立,则称为函数的不动点,已知.
(1)若有两个不动点为,求函数的零点;
(2)若时,函数没有不动点,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】试题分析:(1)由不动点的定义可知: 为两根,结合根与系数关系可求得的值;易得函数,令, 求出方程的根,从而可求得函数的零点;(2)由函数没有不动点可得方程无实数根,由即可求得实数的取值范围.
试题解析:(1)由题意知:f(x)=x,即x2+(b-1)x+c=0有两根,分别为-3,2.
所以,所以,从而f(x)=x2+2x-6,
由f(x)=0得x1=-1-,x2=-1+.
故f(x)的零点为-1±.
(2)若c=,则f(x)=x2+bx+,
又f(x)无不动点,
即方程x2+bx+=x无解,
所以(b-1)2-b2<0.
即-2b+1<0,所以b>.故b的取值范围是b>.
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【题目】已知函数 的图象过点。
(1)求的值并求函数的值域;
(2)若关于的方程有实根,求实数的取值范围;
(3)若函数, ,则是否存在实数,使得函数的最大值为0?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由。
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【题目】已知直线与函数的图像相切于点.
(1)求实数的值;
(2)证明除切点外,直线总在函数的图像的上方;
(3)设是两两不相等的正实数,且成等比数列,试判断与的大小关系,并证明你的结论.
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【题目】某投资人欲将5百万元奖金投入甲、乙两种理财产品,根据银行预测,甲、乙两种理财产品的收益与投入奖金的关系式分别为,其中为常数且.设对乙种产品投入奖金百万元,其中.
(1)当时,如何进行投资才能使得总收益最大;(总收益)
(2)银行为了吸储,考虑到投资人的收益,无论投资人奖金如何分配,要使得总收益不低于,求的取值范围.
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【题目】设函数f(x)=ln x-ax(a∈R)(e=2.718 28…是自然对数的底数).
(1)判断f(x)的单调性;
(2)当f(x)<0在(0,+∞)上恒成立时,求a的取值范围;
(3)证明:当x∈(0,+∞)时, (1+x) <e.
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【题目】为创建全国文明城市,某区向各事业行政单位征集“文明过马路”义务督导员.从符合条件的600名志愿者中随机抽取100名,按年龄作分组如下:,,,,,并得到如下频率分布直方图.
(I)求图中的值,并根据频率分布直方图统计这600名志愿者中年龄在的人数;
(II)在抽取的100名志愿者中按年龄分层抽取5名参加区电视台“文明伴你行”节目录制,再从这5名志愿者中随机抽取2名到现场分享劝导制止行人闯红灯的经历,求至少有1名年龄不低于35岁的概率.
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【题目】某班同学利用国庆节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图:
组数 | 分组 | 低碳族的人数 | 占本组的频率 |
第一组 | [25,30) | 120 | 0.6 |
第二组 | [30,35) | 195 | |
第三组 | [35,40) | 100 | 0.5 |
第四组 | [40,45) | 0.4 | |
第五组 | [45,50) | 30 | 0.3 |
第六组 | [50,55] | 15 | 0.3 |
(1)补全频率分布直方图并求 的值;
(2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取6人参加户外低碳体验活动,其中选取2人作为领队,求选取的2名领队中恰有1人年龄在[4,45)岁的概率.
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