Question

在数列中，已知，且.

（1）若数列为等差数列，求p的值；

（2）求数列的前n项和；

（3）当时，求证：.

Answer 1

同下

解析:

（1）设数列{a_n}的公差为d，则a_n＝a₁＋(n－1)d，a_n＋1＝a₁＋nd．

由题意得，[a₁＋(n－1)d](a₁＋nd)＝n²＋3n＋2对n∈N*恒成立．

即d²n²＋(2a₁d－d²)n＋(a₁²－a₁d)＝n²＋3n＋2． 

所以即或

因为a₁＝p＞0，故p的值为2． ……………………………………………………3分

  （2）因为a_n＋1×a_n＝n²＋3n＋2＝(n＋1)(n＋2)，所以a_n＋2×a_n＋1＝(n＋2)(n＋3)．

所以＝．  ……………………………………………………………………5分

①当n为奇数，且n≥3时，＝，＝，…，＝．

相乘得＝，所以a_n＝p．当n＝1时也符合．

②当n为偶数，且n≥4时，＝，＝，…，＝．

相乘得＝，所以a_n＝a₂．

因为a₁×a₂＝6，所以a₂＝．所以a_n＝，当n＝2时也符合．

所以数列{a_n}的通项公式为a_n＝    ………………………7分

当n为偶数时，S_n＝p＋＋2p＋＋…＋p＋＝p×＋×

＝p＋．

当n为奇数时，S_n＝p＋＋2p＋＋3p＋＋…＋＋p

＝p×＋×＝p＋．

所以S_n＝         ………………………10分

（3）当n为偶数时，ni=1＝＋＋＋…＋＋≥4(＋＋…＋)

＝4[＋＋…＋]

＞2[＋＋＋…＋＋]

＝2(－＋－＋…＋－)＝．…………13分

  当n为奇数，且n≥2时， ni=1＝＋＋＋…＋＋

≥4(＋＋…＋)＋＞4（＋＋…＋）

＞2（＋＋…＋＋）＝．

…………………………………………………………15分

  又因为对任意n∈N*，都有＜，

故当n≥2时，ni=1＞．…………………………………………………………16分