Question

已知函数f(x)=(

1

3

)x．
（1）若f^-1（mx²+mx+1）的定义域为R，求实数m的取值范围；
（2）当x∈[-1，1]时，求函数y=f²（x）-2af（x）+3的最小值g（a）．
（3）是否存在实数m＞n＞3，使得g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，若存在，求出m、n的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（1）先求出的函数f(x)=(

1

3

)x反函数，再代入求出f^-1（mx²+mx+1）的解析式；再把其定义域为R转化为mx²+mx+1＞0恒成立，即可求出实数m的取值范围；
（2）先求出函数y=f²（x）-2af（x）+3的表达式，再结合二次函数在闭区间上的最值求法即可求出g（a）的表达式；
（3）根据（2）的结论知m＞n＞3，对应g（x）=12-6x，在（3，+∞）上是减函数；求出其最大最小值于条件相结合即可求出m、n之间的关系，进而得到结论．

解答：解：（1）∵f-1(x)=log

1

3

x（x＞0），…（2分）
∴f-1(mx2+mx+1)=log

1

3

(mx2+mx+1)，
由题知，mx²+mx+1＞0恒成立，
∴1⁰ 当m=0时，1＞0满足题意；…（3分）
2⁰ 当m≠0时，应有

m＞0 △=m2-4m＜0

?0＜m＜4，
∴实数m的取值范围为0≤m＜4．…（5分）
（2）∵x∈[-1，1]，∴(

1

3

)x∈[

1

3

，3]，
y=f²（x）-2af（x）+3=[(

1

3

)x]2-2a(

1

3

)x+3=[(

1

3

)x-a]2+3-a2，…（7分）
当a＜

1

3

时，ymin=g(a)=

28

9

-

2a

3

；
当

1

3

≤a≤3时，y_min=g（a）=3-a²；
当a＞3时，y_min=g（a）=12-6a．
∴g(a)=

28 9 - 2a 3    (a＜ 1 3 ) 3-a2      ( 1 3 ≤a≤3) 12-6a    (a＞3)

．        
（3）∵m＞n＞3，∴g（x）=12-6x，在（3，+∞）上是减函数．
∵g（x）的定义域为[n，m]，值域为[n²，m²]，
∴

12-6m=n2 12-6n=m2

，

① ②

…（12分）
②-①得：6（m-n）=（m+n）（m-n），
∵m＞n＞3，∴m+n=6．但这与“m＞n＞3”矛盾．
∴满足题意的m、n不存在．                 …（14分）

点评：本题考查转化思想以及分类讨论思想的应用，由解题过程可以看出，通过转化把f^-1（mx²+mx+1）的定义域为R转化为mx²+mx+1＞0恒成立是求出第一问的关键．