Question

已知an=

1

(n+1)2

(n∈N*)，b_n=2（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n），则

lim

n→+∞

bn=

1

．

Answer 1

分析：先根据a_n的通项求出1-a_n的表达式；代入b_n整理即可求出答案．

解答：解：∵an=

1

(n+1)2

(n∈N*)，
∴1-a_n=1-

1

(n+1) 2

=

n(n+2)

(n+1) 2

；
∴b_n=2（1-a₁）（1-a₂）…（1-a_n）
=2×

1×3

(1+1) 2

×

2×4

(2+1) 2

×

3×5

(3+1) 2

×…×

(n-2)[(n-2)+2]

([(n-2)+1] 2

×

(n-1)[(n-1)+2]

n2

×

n(n+2)

(n+1)2

=2×

1

2

×

n+2

n+1

=1+

1

n+1

．
∴

lim

n→+∞

bn=1．
故答案为：1．

点评：本题主要考查数列的极限．解决问题的关键在于知道哪些项留了下来，哪些项被消去了，所以在做这一类型题目时，一般要多写几项，便于观察．