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如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆 $数学公式$ 的焦距为2，且过点 $数学公式$ ．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点A，B分别是椭圆E的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．
（ⅰ）设直线OM的斜率为k₁，直线BP的斜率为k₂，求证：k₁k₂为定值；
（ⅱ）设过点M垂直于PB的直线为m．求证：直线m过定点，并求出定点的坐标．

解：（1）由题意得2c=2，∴c=1，又 $\text{[math]}$ ，a²=b²+1．
消去a可得，2b⁴-5b²-3=0，解得b²=3或 $\text{[math]}$ （舍去），则a²=4，
∴椭圆E的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）（ⅰ）设P（x₁，y₁）（y₁≠0），M（2，y₀），则 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∵A，P，M三点共线，∴ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，
∵P（x₁，y₁）在椭圆上，∴ $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ 为定值．
（ⅱ）直线BP的斜率为 $\text{[math]}$ ，直线m的斜率为 $\text{[math]}$ ，
则直线m的方程为 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ．
所以直线m过定点（-1，0）．
分析：（1）利用椭圆的标准方程及参数a，b，c之间的关系即可求出；
（2）（i）利用斜率的计算公式、三点共线的斜率性质、点在椭圆上的性质即可证明；
（ii）利用直线的点斜式及其（i）的有关结论即可证明．
点评：熟练掌握椭圆的定义及其性质、斜率的计算公式及其直线的点斜式是解题的关键．善于利用已经证明过的结论是解题的技巧．

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