Question

（本小题满分12分）已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并证明；

（2）若对于任意，不等式恒成立，求正实数的取值范围.

 

Answer 1

（1）f （x）在定义域上是奇函数；（2） m的取值范围是．

【解析】

试题分析：（1）判断奇偶性，首先求定义域，看定义域是否关于原点对称.然后再看是满足还是.若满足，则是奇函数；若满足，则为偶函数.（2）对不等式，应根据函数的单调性转化为普通不等式.所以首先利用导数判断的单调性.由于，当或时，恒成立，所以在上是减函数，因为x∈[2,4]且m>0，所以，由得，即m<（x＋1）（x－1）（7－x）在恒成立．设g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，这样即可.

试题解析：（1）由，得且，

∴函数的定义域为， 1分

当时，， 2分

， 3分

所以， 4分

∴f （x）在定义域上是奇函数； 5分

（2）由于，

当或时，恒成立，

所以在上是减函数， 6分

因为x∈[2,4]且m>0，所以， 7分

由及在上是减函数，

所以， 8分

因为x∈[2,4]，所以m<（x＋1）（x－1）（7－x）在恒成立． 9分

设g（x）＝（x＋1）（x－1）（7－x），，则g（x）＝－x3＋7x2＋x－7， 10分

所以g′（x）＝－3x2＋14x＋1＝－32＋，

所以当时，g′（x）>0 ．

所以y＝g（x）在上是增函数，g（x）min＝g（2）＝15 ． 11分

综上知符合条件的m的取值范围是． 12分

考点：1、函数的奇偶性；2、导数的应用.