Question

已知偶函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)在（0，+∞）上单调递减．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（2a+1）=f（a），求实数a的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f(x)=xm2-2m-3(m∈Z)在（0，+∞）上单调递减，根据幂函数在（0，+∞）上的单调性与指数的关系，得到m²-2m-3＜0，结合m∈Z，易函数f（x）为偶函数即m²-2m-3为偶数，我们易求出对应的m值，进而得到函数f（x）的解析式；
（2）由已知中函数f（x）为偶函数，我们可将f（2a+1）=f（a），转化为|2a+1|=|a|，根据绝对值的定义，解绝对值方程，即可得到答案．

解答：解：（1）由m²-2m-3＜0得-1＜m＜3又m∈Z
∴m=0或1或2而m²-2m-3为偶数
∴m²-2m-3=-4，∴f（x）=x^-4
（2）∵函数f（x）为偶函数，若f（2a+1）=f（a），
则|2a+1|=|a|，
即2a+1=a或2a+1=-a
∴a=-1或a=-

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3

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点评：本题考查的知识点是幂函数的性质，绝对值方程的解法，偶函数的性质，其中（1）的关键是熟练掌握幂函数的单调性，奇偶性，定义域与指数的关系，（2）的关键是利用偶函数的性质，将抽象方程，转化为绝对值方程．