Question

【题目】已知函数，其中为常数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若存在两个极值点，求证：无论实数取什么值都有.

Answer 1

【答案】（1）当时，在区间上单调递增；

当时，在上单调递减，在上单调递增;

（2）见解析.

【解析】试题分析: （1）先求导数，研究导函数在定义域上零点情况，本题实质研究在上零点情况：当方程无根时，函数单调递增；当方程有两个相等实根时，函数单调递增；当方程有两个不等实根时，比较两根与定义区间之间关系，再确定单调区间，（2）先由（1）知，且两个极值点满足.再代入化简得,利用导数研究单调性，最后根据单调性证明不等式.

试题解析:（1）函数的定义域为.

，记，判别式.

①当即时，恒成立，，所以在区间上单调递增.

②当或时，方程有两个不同的实数根，记，，显然

（ⅰ）若，图象的对称轴，.

两根在区间上，可知当时函数单调递增，，所以，所以在区间上递增.

（ⅱ）若，则图象的对称轴，.，所以，当时，，所以，所以在上单调递减.当或时，，所以，所以在上单调递增.

综上，当时，在区间上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.

（2）由（1）知当时，没有极值点，当时，有两个极值点，且.

，

∴又，

.记，，则，所以在时单调递增，，所以，所以.