Question

已知集合A={x|x²-3（a+1）x+2（3a+1）＜0}，集合B={x|

x-2a

x-(a2+1)

＜0}．命题p：x∈A；命题q：x∈B．q是p的充分条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：先求出A，B的等价条件，利用q是p的充分条件，建立条件关系，即可求实数a的取值范围．

解答：解：A={x|（x-2）（x-3a-1）＜0}
①当2=3a+1，即a=

1

3

时，A=∅，而B≠∅，不满足题意．
②当2＜3a+1，即a＞

1

3

时，A={x|2＜x＜3a+1}
∵2a≤a²+1，
∴当a=1时，B=∅，B⊆A满足题意．
当a≠1时，B={x|2a＜x＜a²+1}
∵B⊆A，
∴

2≤2a a2+1≤3a+1

，
解得1＜a≤3．
③当2＞3a+1，即a＜

1

3

时，A={x|3a+1＜x＜2}
∵B⊆A，
∴

3a+1≤2a a2+1≤2

，
解得a=-1．
综上，a的取值范围为{a|1≤a≤3，或a=-1}．

点评：本题主要考查集合关系的应用，以及一元二次不等式的解法，对于含有参数的一元二次不等式要进行分类讨论．