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    已知幂函数,且在上单调递增.

    (1)求实数的值,并写出相应的函数的解析式;

    (2)若在区间上不单调,求实数的取值范围;

    (3)试判断是否存在正数,使函数在区间上的值域为若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.

     

    【答案】

    (1) 或, (2)  (3)

    【解析】

    试题分析：(1)由题意知,解得:.   2分

    又 ∴或,   3分

    分别代入原函数,得.   4分

    (2)由已知得.   5分

    要使函数不单调，则，则.   8分

    (3)由已知,.    9分

    法一:假设存在这样的正数符合题意,

    则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,

    因而,函数在上的最小值只能在或处取得,

    又,

    从而必有,解得.

    此时,,其对称轴,

    ∴在上的最大值为,符合题意.

    ∴存在,使函数在区间上的值域为14分法二:假设存在这样的正数符合题意,

    由(1)知,

    则函数的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为,

    考点：幂函数及二次函数单调性最值

    点评：第二问中二次函数不单调需满足对称轴在给定区间内，第三问关于最值的考查需注意对称轴与给定区间的关系，从而确定给定区间上的单调性得到最值，一般求解时都要分情况讨论

     

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    （I）若，求F（x）的值；
    （Ⅱ）把F（x）图象的横坐标缩小为原来的一半后得到H（x），求H（x）的单调减区间．

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