Question

16．设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R，f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，当x∈[-2，0）时，f（x）=log₂（x+3），则f（2017）-f（2015）=-2．

Answer 1

分析 由对任意的x∈R，f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$得函数的周期性为4，根据函数的奇偶性和周期性进行转化即可得到结论．

解答 解：∵对任意的x∈R，f（x+2）=$\frac{1}{f（x）}$，
∴f（x+4）=f（x），
∴函数的周期是4，
∴f（2017）=f（1），f（2015）=f（-1）
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（1）=-f（-1），
∵当x∈[-2，0）时，f（x）=log₂（x+3），
∴f（-1）=log₂2=1，
则f（2017）-f（2015）=-1-1=-2，
故答案为：-2

点评 本题主要考查函数值的计算，根据函数的奇偶性和周期性进行转化是解决本题的关键．