Question

16．下列结论中，正确结论的个数是（　　）
（1）若$\overrightarrow a•\overrightarrow b=\overrightarrow a•\overrightarrow c$，且$\overrightarrow a≠\overrightarrow 0$，则$\overrightarrow b=\overrightarrow c$
（2）$|{\overrightarrow a•\overrightarrow b}|=|{\overrightarrow a}||{\overrightarrow b}|?\overrightarrow a∥\overrightarrow b$
（3）$（{\overrightarrow a•\overrightarrow b}）\overrightarrow c=\overrightarrow a（{\overrightarrow b•\overrightarrow c}）$
（4）$\overrightarrow{e_1^{\;}}≠\overrightarrow 0，λ∈R，\overrightarrow a=\overrightarrow{e_1^{\;}}+λ\overrightarrow{e_2^{\;}}，\overrightarrow b=λ\overrightarrow{e_1^{\;}}，\overrightarrow a∥\overrightarrow b$，则$\overrightarrow{e_1^{\;}}∥\overrightarrow{e_2^{\;}}或λ=0$．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根据向量数量积的计算公式，以及相等向量的概念，平行向量的概念，共线向量和平面向量基本定理便可判断每个结论的正误，从而得出正确结论的个数．

解答 解：（1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$；
∴$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$，且$\overrightarrow{a}≠\overrightarrow{0}$；
∴$|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=|\overrightarrow{c}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$；
∴得不到$|\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}|$；
∴得不到$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{c}$；
∴该结论错误；
（2）1）若$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$，则：
$|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}||cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$；
①若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$中至少一个为$\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$；
②若$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$都不是$\overrightarrow{0}$，则$|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞|=1$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=0°$或180°；
∴$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$；
2）若$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$，则$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$夹角为0°或180°；
∴$|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞|=1$；
∴$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$；
综上得，$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|$?$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$；
（3）$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$可能不共线；
∴$（\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}）\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}（\overrightarrow{b}•\overrightarrow{c}）$是错误的；
（4）$\overrightarrow{{e}_{1}}≠\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow{b}=λ\overrightarrow{{e}_{1}}$；
∴$\overrightarrow{b}∥\overrightarrow{{e}_{1}}$，且$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{b}$；
∴①若$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$，则λ=0；
②若$\overrightarrow{b}≠\overrightarrow{0}$，则$\overrightarrow{a}∥\overrightarrow{{e}_{1}}$；
∴$\overrightarrow{a}=μ\overrightarrow{{e}_{1}}$，且$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{{e}_{1}}+λ\overrightarrow{{e}_{2}}$；
∴$\overrightarrow{{e}_{1}}∥\overrightarrow{{e}_{2}}$，或λ=0；
综上得，$\overrightarrow{{e}_{1}}∥\overrightarrow{{e}_{2}}$，或λ=0；
即该结论正确；
∴正确结论的个数为2．
故选：C．

点评 考查向量数量积的计算公式，向量相等的概念，向量平行的概念，以及平面向量基本定理和共线向量基本定理，分类讨论的思想．