Question

1．已知点F是抛物线C：y=ax²（a≠0）的焦点，点A在抛物线C上，则以线段AF为直径的圆与x轴的位置关系是（　　）

• A． 相离
• B． 相交
• C． 相切
• D． 无法确定

Answer 1

分析 由梯形中位线定理得线段AF的中点到x轴的距离为$d=\frac{1}{2}（|{OF}|+|{A{A_2}}|）=\frac{1}{2}（{\frac{1}{4|a|}+|{A{A_1}}|-\frac{1}{4|a|}}）=\frac{1}{2}|{AF}|$，可得以线段AF为直径的圆与x轴的位置关系是相切．

解答 解：抛物线C的标准方程为${x^2}=\frac{1}{a}y（a≠0）$，焦点为$F（{0，\frac{1}{4a}}）$，
过点A作准线$y=-\frac{1}{4a}$的垂线，垂足为A₁，AA₁交x轴于点A₂，
根据抛物线的定义得|AA₁|=|AF|．
由梯形中位线定理得线段AF的中点到x轴的距离为$d=\frac{1}{2}（|{OF}|+|{A{A_2}}|）=\frac{1}{2}（{\frac{1}{4|a|}+|{A{A_1}}|-\frac{1}{4|a|}}）=\frac{1}{2}|{AF}|$，
故以线段AF为直径的圆与x轴的位置关系是相切，
故选C．

点评 本题主要考查了抛物线的定义．涉及抛物线焦半径和焦点弦的问题时，常利用抛物线的定义来解决．